Прямоугольный параллелепипед на занятиях с репетитором

Теоретические сведения о прямоугольном паралеллелепипеде: для работы репетитора по математике со старшеклассниками и подготовки к ЕГЭ.

Прямоугольный параллелепипедПрямой параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники, называется прямоугольным. Частный случай прямоугольного параллелепипеда – куб. Кубом называется такой прямоугольный параллелепипед, все 12 ребер которого равны друг другу.

Свойства прямоугольного параллелепипеда с длиной a, шириной b и высотой c:

1) Все его грани – прямоугольники. Противоположные грани – равные прямоугольники.
Точка пересечения диагоналей2) Диагонали равны, пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.
3) Точка пересечения диагоналей является центром описанного шара

4) Квадрат диагонали AK прямоугольного параллелепипеда (см. рисунок) равен квадратному корню из суммы квадратов длин его измерений, то есть AK=\sqrt{a^2+b^2+c^2}
Доказательство: Рассмотрим прямоугольный треугольник AKC. По теоерме Пифагора AK=\sqrt{AC^2+c^2} (см. предыдущий рисунок). Теперь в треугольнике ADC: AC^2=a^2+b^2. Осталось вставить в первое равенство вместо AC^2 правую часть последнего.

5) Объем любого прямоугольного параллелепипеда равен произведению длин его измерений, то есть V=abc

6) Площадь боковой поверхности S=2ab+2bc+2ac

7) Объем куба V=a^3

8) Свойство диагоналей куба: диагональ MC куба ABCDMNKP
  • перпендикулярна плоскостям (ANP) и (KBD)
  • делится этими плоскостями на три равных отрезка: MQ=QE=EC

Свойства диагоналей куба

Копилка задач репетитора по математике на параллелепед

1) Стороны основания в прямоугольном параллелепипеде равны 2\sqrt{3} и 4см. Его диагональ составляет с меньшей боковой гранью угол 30^\circ. Найдите высоту параллелепипеда.

2) Диагональ в прямоугольном параллелепипеда равна 2\sqrt{2} и составляет углы 30^\circ и 45^\circ с двумя смежными боковыми гранями. Определите объем этого параллелепипеда.

3) В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1: M \in [A,C, DN=\frac{3}{4}DD. Найти MN, если ребро куба равно \sqrt{56}.
Замечание репетитора математики: При наличие неудобных для вычислений чисел, таких как \sqrt{56} я бы советовал репетиторам математики прибегать к приему подобия. Решить задачу для какого-нибудь удобного размера ребра, например, для 2см, а затем полученный ответ умножить на \frac{\sqrt{56}}{2}

4) В кубе ABCDA_1B_1C_1D_1: M \in [A,B_1], AM=\frac{1}{6}AB_1; N \in[C,D_1], CN=\frac{3}{4}CD_1. Найти MN, если ребро куба равно 3\sqrt{46}

5) В прямоугольном параллелепипеде ABCDEFGH AB=6см, BC=8см. Через середины сторон AD и CD и вершину F проведена плоскость, под углом 45^\circ к плоскости основания. Найдите полную поверхность параллелепипеда.

6) В прямоугольном параллелепипеде ABCDTKLP: AB=3см, BC=4см. Через диагональ KD данного параллелепипеда параллельно диагонали AC проведена плоскость. Определите угол, образуемый данной плоскостью и плоскостью основания, если объем имеющегося параллелепипеда 19,2\sqrt{3}куб.см.

7) В прямоугольном параллелепипеде ABCDSQPE: AB=6м, AD=3м, AS=4м. Точками M,N и K боковые ребра параллелепипеда делятся так, что AM:MB=1:1, SN:NQ=5:1,EK:KP=1:2. Вычислите площадь его сечения плоскостью MNK.

8) В прямоугольном параллелепипеде ABCDFESQ: AB=3м, AD=10м, AF=4м. Точки M,N и K делят его боковые ребра на отрезки так, что AM:MD=1:4, FN:NQ=2:3,EK:KS=1:2. Вычислите площадь сечения, образуемого плоскостью MNK.

Александр Николаевич Колпаков,
репетитор по математике в Москве. Частные уроки в Строгино

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

ольга мая 6, 2012 в 12:09

Вы, конечно, молодец. А что вы знаете о оптимальных планах в задачах линейного программирования ?

Колпаков А.Н. мая 6, 2012 в 23:38

Я не являюсь репетитором по линейного программированию, хотя имею представление и о симплекс методе, и о транспортной задаче. Мой профиль — классическая математика, школьная математика, подготовка к ЕГЭ и ГИА. Хотя в прошлом году помогал своему давнему ученику, поступившему в Финансовую Академию именно с линейным программированием. Но не углубляясь в него…

Оставьте комментарий