Работа репетитора по математике с системой координат в пространстве

Одним из самых эффективных приемов в работе со сложной стереометрией является метод координат. Какой порядок в его изучении может выбирать репетитор по математике для разных по уровню учеников? На какие «мелочи» в подаче объяснений и подбора упражнений следует остановить внимание репетитору? Рассмотрим эти и другие вопросы подробнее, а также укажем основные этапы и проблемы изучения координат в пространстве на частных уроках математики.

В учебнике Атанасяна, который использует сегодня подавляющее большинство частных и школьных преподавателей, координатный раздел располагается сразу после темы «векторы», а не наоборот, как в Погорелове. Это накладывает свой отпечаток на содержание и порядок расстановки заданий системе работы с темой.

Как репетитор по математике — прагматик подает координаты?
Частные уроки – особый вид занятий, условия проведения и содержание которых зависит не только от умения и желания репетитора поделиться знаниями, а еще и от родителей, устанавливающих временные параметры обучения. Зачастую взрослые смутно представляют себе возможности индивидуальной помощи и методы, которыми репетитор по математике будет достигать поставленных перед ним целей. В результате на подготовку к ЕГЭ отводится ничтожно малое время, что заставляет репетитора по математике отказываться от правильных методик развития в пользу выборочного обучения. К великому сожалению это происходит довольно часто. Репетитор – прагматик разбирает со школьником алгоритмы решения некоего узкого набора задач, например номеров С2 с ЕГЭ, исключая из рассмотрения всю неиспользуемую в них теорию. Аналогичную «пожарную работу» можно провести и в теме «координаты».

Будем действовать от лица репетитора, задачами которого является только подготовка к ЕГЭ по математике. Минимальная практика решения простых задач при коротком и быстром объяснении нового (или плохо изученного) понятия «координата» — обычный план работы в таком случае. Ориентиром является последующее натаскивание на использование векторов и метода координат.

Простые правила репетитора

1) Тема «координаты» сама по себе несложная, однако нельзя пренебрегать простыми заданиями даже в том случае, когда репетитора по математике приглашен к толковому ученику. Им все равно нужно уделять время.

2) Нужно рассмотреть все частные случаи расположения точек на осях и в координатных плоскостях.

3) Поскольку половину задач c2 можно решить «аналитикой» без непосредственного изображения рассматриваемых углов и расстояний на чертеже, прагматическая подготовка к ЕГЭ по математике, затрагивающая стереометрию, может быть оптимизирована исключительно под метод координат и поэтому существенна упрощена. Данная тема рассматриваются исключительно для следуюшего шага поиска нормалей и направляющих векторов к объектам. Нет смысла втягиваться в задачи на определение множества точек с наложенным на их координаты условием, на компланарность векторов, на систему и установление зависимости между векторами и точками (кроме поичка координат векрота по его началу и концу). Фактически репетитор по математике вооружает ученика минимальным, но достаточным для частных задач набором средств аналитической геометрии. Не стоит рассматривать задания с условиями, далекими от практических ситуаций применения координат на ЕГЭ.

Какие ошибки допускает репетитор по математике от неопытности?

Прежде всего, они связаны с чрезмерно высокой скоростью объяснений и решений при довольно низком уровне пространственного мышления и чтения чертежа. Для того, чтобы добиться хотя бы минимального уровня владения координатами, а в последствии и векторами, репетитору по математике придется потратить время на отработку простейших операции, так как поиск координат вершин куба. Предпочтительнее разобрать этапы решения задачи методом кординат отдельно, чем пытаться одним выстрелом убить сразу нескольких зайцев: разбирать алгоритм и формировать представление о стереометрических объектах и понятиях. Попытки репетитора по математике ускорить переход к решению содержательных задачек, как правило, ничем путным не заканчиваются. Для выработки соответствующих навыков должно пойти время. И чем слабее ученик, тем больше времени потребуется. В среднем репетитор по математике выделяет на тему «координаты точек» до половины занятия, заполняя его или сразу задачами на повторение или, в случае полного непонимания координат, объясняет их с нуля.

Совершенны ли учебники математики?

Я еще не встречал ни одного пособия, которое мне бы нравилось бы на 100% и подходило бы для занятий со всеми детьми. Так и в случае с координатами имеются моменты, нуждающиеся в улучшении и коррекции. В учебнике Атанасяна, например, для введения понятия «координата в пространстве» через заданную точку проводится плоскость, перпендикулярная к координатной оси. Я бы не советовал репетитору по математике связываться с плоскостями (по карйней мере на этапе введения координат). Плоскости — не самый удобный объект для пусвоения темы. Гораздо приятнее и удобнее воспользоваться услугами старого доброго перпендикуляра к оси. Дети привыкли находить координаты в планиметрии именно через него. Причем навык это должен быть сформирован уже в 6 — 7 классе. С его помощью в 10 — 11 же классе репетитору проще продемонстрировать аналогичные манипуляции в пространстве.

Как репетитор по математике вводит координаты?

Допустим, репетитору нужно объяснить, что такое «абсцисса точки пространства». Из произвольной точки А можно опустить перпендикуляр на любую прямую (этот процесс легко показать в реальности на карандашах или моделях), в том числе он опускается и на ось абсцисс. Координата конца перпендикуляра называется абсциссой точки А. Тот же результат получится, если репетитор по математике опустит перпендикуляр на XOY (или на XOZ), а затем в этой плоскости проведет самый обычный «плоский» перпендикуляр к Ох. Получится та же точка .

Работа с нулевыми значениями

Наиболее часто в практических задачах используются точки, лежащие на координатных осях. В мало-мальски идеальных условиях работы проработка навыков поиска «осевых координат» проводится репетитором по математике на отдельных заданиях. Важно указать на соответствие между принадлежностью осям или плоскостям при соответствующих им нулевых координатах точек. Если точка лежит на объекте, обозначенном буквами x,y или z, то по переменным, которые в это обозначение не входят, координаты должны быть нулевыми.

Как репетитор манипулирует системой координат

Чрезвычайно полезными являются задания поиска координат при разных единичных отрезках и разных системах координат. Даже если у репетитора по математике мало времени на стереометрию, нетрудно разнообразить условия задач простым манипулированием расположений осей и начала отсчета. Вместо того, чтобы вводить систему стандартно, как показано на рисунке слева, можно провести оси в кубе так, как показано на рисунке справа.
Обязательно нужны задачи на прямоугольный параллелепипед, с некоторыми учащимся полезно будет рассмотреть различные виды пирамид.

Александр Николаевич, репетитор по математике в Москве. Строгино.