Репетитор по математике о приведении дробей к общему знаменателю (8 класс)

В каждом разделе школьной математики репетитор встречает те или иные сложности с преподнесением базового материала отстающим школьникам. Проблемы возникают самые разные. Одни обусловлены низким уровнем развития и знаний учащегося, другие неудачным изложением или расположением темы в программе, а есть такие, объяснить появление которых репетитору по математика не удается вовсе. Я делюсь с посетителями сайта своими размышлениями и наблюдениями за учениками, даю советы по вопросам преподавания элементарной и профильной математики, а также описываю частные приемы и методики своей работы.

Преподаватели школ не всегда справляются со своей главной задачей – преподнести классу материал доступно и интересно. Ребенку всегда что-нибудь мешает думать и понимать, он отвлекается или засыпает к середине урока. Поэтому важно, чтобы с ним постоянно контактировал репетитор по математике, не понаслышке знающий особенности восприятия предмета отстающими детьми. Хорошие репетиторы по математике умеют обходить слабые места учебников, совершенствовать методику объяснений с каждым новым учеником. Именно для таких репетиторов по математике я оформляю методические страницы своего сайта и анализирую сложные моменты преподавания конкретных тем. Ниже пойдет речь о работе репетитора с алгеброй (8 класс), а именно с темой «приведение дробей к общему знаменателю».

Традиционно репетитору по математике подбрасывают учеников, не имеющих прочной базы навыков выполнения алгебраических преобразований. Причем зачастую отсутствуют элементарные познания по многочленам, раскрытию скобок, приведению подобных. Как такого ученика научить складывать дроби с разными знаменателями? Без репетитора по математике он и шагу ступить не сможет. Времени, как обычно, родители предоставляют только на поддержание приобретенных знаний, поэтому приходиться искать простые пути и правила, раскрывающие подростку суть сложных математические алгоритмов.

Каким образом репетитор по математике спасает ученика?

Вы наверняка знаете, как привести дроби к общему знаменателю. Эти знания , скорее всего, явились результатом долгого и напряженного труда в прошлом, результатом выполнения заданий, направленных на математическое развитие. Как донести эти знания до ребенка?

В планы репетитора по математике на первых уроках обязательно должна быть включена отработка с алгоритма приведения дробей к общему числовому знаменателю (можно соединить со сложением и вычитанием). Даже если ученик умеет это делать, нужно открыть перед ним известный алгоритм новым ключиком, с определенным способом оформления записей. В дальнейшем он будет использоваться для буквенных дробей. Какой ключик использует репетитор по математике?

Необходимо разложить каждый знаменатель на множители (возможно на простые) и только после этого искать дополнительные. На рисунке отображена одна важная особенность оформления от репетитора: в каждом знаменателе множители обратно не перемножаются. В разложенном состоянии оба знаменателя «плывут по течению» в направлении ответа. В таком виде его легче сокращать.
Какая терминология используется репетитором по математике в данном случае? Я говорю: «Наша цель — уравнять состав множителей в знаменателях. Поскольку убрать лишние мы не сможем (дроби не сокращаются), значит нужно дописать недостающие множители к уже имеющимся. Если какой-то из них встречается хотя бы 1 раз, он должен появиться во всех знаменателях. Домножим на него те дроби, в которых его нет».

На закрепляющих уроках репетитор по математике возвращает ученика к отработанному алгоритму через короткий вопрос «Чем дополнить каждую дробь?», или «Каких множителей не хватает каждой дроби?». Очень полезно использовать сочетание «выравниваем состав множителей в знаменателях». Мой многолетний опыт репетитора по математике только подтверждает высокую эффективность использования данной фразы. С одной стороны она короткая, а с другой очень точно описывает происходящий процесс.

Сформировав у учащегося прочный навык работы с числовыми дробями, репетитор по математике приступает к объяснению аналогичного алгоритма для дробных буквенных выражений. После соответствующей числовой подготовки его понимание придет достаточно быстро, если подростку объяснить, что буквы – это места для вставки чисел. Именно поэтому с буквами можно работать аналогично. Разница состоит только в том, что арифметические действия записываются, но не выполняются. По сути, монолог репетитора по математике мало чем отличается от предложенного ранее. По-прежнему нужно максимально разложить знаменатели на множители (на скобки или на отдельные одночлены), а затем уравнять их состав. Если какая-нибудь скобка или какой-нибудь одночлен встретился в одном из знаменателей, он должен попасть во все остальные. Поэтому отправим его туда, где его нет.

Репетитор по математике перебирает по очереди все имеющиеся множители, напоминая о необходимости присутствия каждого из них во всех знаменателях. «В каком из знаменателей нет скобки «№1?», — спрашивает репетитор. — «Отправляем этот множитель в соответствующую дробь».

О работе репетитора с полными квадратами

Важно не забыть рассмотреть случаи, когда в знаменателе встречается полный квадрат (квадрат скобки). Например или . Репетитору по математике снова полезно опереться на фразу «выравниваем состав множителей», или на «выравниваем записи». Если та или иная скобка повторяется в каком-нибудь знаменателе несколько раз, она должна повториться столько же раз во всех знаменателях. К сожалению доля упражнений в учебниках на такие виды знаменателей небольшая. Советую репетиторам по математике потратить время на отработку нескольких вариантов вариантов сочетаний полных квадратов с другими формулами и методами разложения. Не лишним будет сочетание полногог квадрата с методом группировки, суммой (разностью) квадратов и кубов. Особое место в дидактической подборке репетитора по математике должо занять задание — ловушка:
В этом примере коэффициент 2 отлично маскирует полный квадрат скобки . Если репетитор поставит такие знаменатели среднему ученику, то с вероятностью примерно 60% многочлен превратится в полный квадрат

Стоит отметить, что стандартный стиль оформления примеров на сложение числовых дробей, рекомендованный авторами учебников, не использует стиля сохранения знаменателей в разложенном виде. Это обстоятельство мешает репетитору по математике провести в 8 классе аналогию с техникой сложения (вычитания) изученных в 6 классе числовых дробей. Дети, привыкшие искать общий знаменатель через наименьшее общее кратное без методики «минимального выравнивания» записей теряются в разложениях многочленов.

Репетитор по математике, А.Н. Колпаков. Москва. Строгино.