C4 c прошлогоднего ЕГЭ по математике 2014г. Решение репетитора

Вниманию репетиторов по математике 2014 и учеников предлагается решение реальной задачи С4 (планиметрия) с одного из вариантов проведенного позавчера экзамена ЕГЭ.

Задача C4.
В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты BB_1 и CC_1, пересекающиеся в точке H.

C4 c последнего ЕГЭ по математике 2014г. Решение репетитора
a) Докажите что \angle AHB_1= \angle ACB
b) Найдите BC, если AH=21 и \angle ACB = 30^{\circ}

Решение репетитора по математике:
а) Продлим отрезок AH до пересечения в точке A_1 со стороной BC. Так как все высоты пересекаются в одной точке (это точка H), следовательно AA_1 — высота. Репетитор по математике продливает отрезок AHВ треугольниках AHB_1 и ACA_1 две пары равных уголов (\angle HAB_1 — общий и углы B_1 и A_1 — прямые) Cледовательно последняя пара углов — тоже равная, поэтому \angle AHB_1= \angle ACB

б) Так как \angle AC_1H + \angle AB_1H = 90^{\circ} \implies вокруг AC_1HB_1 можно описать окружность, которая будет описана еще и вокруг треугольника AC_1B_1 . Так как \angle B_1 =90^{\circ} \implies AH — ее диаметр. По теореме синусов для \triangle AC_1B_1 имеем:

\dfrac{C_1B_1}{Sin C_1AB_1} =2R

\dfrac{C_1B_1}{Sin 30} =21

Откуда получаем, что C_1B_1=10,5

Ученику хорошего репетитора по математике должен быть известен факт о том, что треугольники AC_1B_1 и ACB подобны с коэффициентом, равным косинусу полного угла A.

Поэтому оставим без подробного объяснения равенство:

\dfrac{C_1B_1}{BC}=Cos C_1AB_1

\dfrac{10,5}{BC}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}

откуда

BC=\dfrac{21}{\sqrt{3}}=7 \sqrt{3}

Мой прогноз относительно содержания задачи С4 сбылся полностью. Я поставил себя на место составителя ЕГЭ по математике и попробовал найти характерный тип планиметрической задачи С4, который не предлагался в прошлые годы, но был любим экспертами математиками из-за насыщенности различными фактами — свойствами. Выбор пал на тему «ортоцентр» (точка пересечения высот) с проникновением в скрытый от учеников, но хорошо известный репетиторам по математике мир описанных окружностей вокруг оснований высот. И угадал. Две мои ученицы уже успели отзвониться и подтвердить успешное решения задачи С4. Посмотрим каков будет итоговый балл.

С уважением, репетитор по математике для ЕГЭ, Колпаков А.Н, Москва

{ 2 комментариев… прочтите их или напишите еще один }

Азамат 9 июня, 2015 в 1:57

«Ученику хорошего репетитора по математике должен быть известен факт о том, что треугольники AC_1B_1 и ACB подобны с коэффициентом, равным косинусу полного угла A.»

А по какому учебнику планиметрии надо работать, чтобы быть в курсе таких фактов?

Колпаков А.Н. 9 июня, 2015 в 7:18

Хороший вопрос. На самом деле существует множество не очень сложных, но очень полезных для задач фактов, которые не находят достойного места в школьной программе по математике (один из них был использован в объяснении). Это не является каким-либо изъяном или недосмотром программы. Всего не уместить в учебнике, каким бы хорошим и полным он ни был. Тем более если идет речь о школьном курсе. Более того, отсутствие в учебниках некоторого полезного массива информации дает любознательным учащимся и их преподавателям «пищу для размышлений», пространство для воплощения эвристического подхода в обучении. При таком положении вещей репетитор по математике в сочетании с собственным стремлением ученика знать больше является, пожалуй, единственным средством к получению дополнительных знаний.

Оставьте комментарий