Виртуальный репетитор по математике: теория вероятностей

У Вас нет возможности пригласить толкового репетитора для решения сложных задач по теории вероятностей? Нужна разовая консультация профессионального математика по отдельному вопросу курса «ТерВера»? Воспользуйтесь новой услугой виртуальный репетитор по математике на моем сайте и я постараюсь Вам помочь. Помощь оказывается абсолютно бесплатно.

Я оставляю за собой право выбирать задачи и не гарантирую оформление всего того, что Вы мне пришлете. Помимо виртуальной работы я еще занимаюсь с реальными учениками и, к сожалению, не всегда успеваю подробно отвечать на письма (слишком много времени уходит на публикации задач). Однако, в любом случае у Вас есть хороший шанс получить, как минимум, ценное указание по интересующему решению через e-mail. Вероятность отказа в оформлении, как правило, увеличивается во второй половине учебного, когда работа реальным репетитором по математике набирает максимальные обороты.

Как получить помощь?
Присылайте точные формулировки вопросов. Предпочтение отдается интересным и одновременно не очень сложным задачам (иначе их придется по долгу решать), а также уникальным экземплярам (которых нет ни на одном другом сайте в интернете). Оформить вопрос лучше всего через приведенную ниже форму. Обязательно укажите свое реальное имя и e-mail для обратной связи.

Ваш вопрос репетитору по математике:
  • Сформулируйте ваш вопрос. Например, можно попросить подсказать способ решения школьной, конкурсной, олимпиадной или ЕГЭ задачи, узнать о существовании и применении какой-либо теоремы, свойства или формулы.
  • Загрузите файл с фотографией или сканером варианта контрольной, уравнения, неравенства, буквенного или числового выражения, с которыми возникли трудности. Я постараюсь Вам помочь. Также интересуют различные логические и занимательные задачи для школьников, которые вам где-либо встретились.

Вопрос репетитору по математике от Павла: Здравствуйте! Помогите срочно решить одну задачу по курсу теории вероятностей: В ящике лежат 2 белых носка, 4 серых носка и 7 черных носка. Найдите вероятность того что из трех случайно выбранных носков хотя бы два окажутся одного цвета.

Решение: самый быстрый и удобный путь — найти вероятность противоположного события: из трех случайно выбранных носков нет двух носков одного цвета. Это означает, что все носки разные. То есть найдем вероятность того, что среди трех взятых наугад — ровно 1 белый, 1 серый и 1 черный, а затем вычтем из единицы то, что получилось, то есть воспользуемся свойством P(A)=1-P(\bar{A}). Вероятность любого события — есть отношение числа исходов, благоприятствующих его наступлению, к числу всех исходов. Выбрать 3 шара из 13 имеющихся можно C_{13}^3=\dfrac{13!}{3!(13-3)!}=286 способами. Теперь найдем сколькими способами можно взять три носка разных цветов. Взять 1 белый носок можно двумя способами, для каждого такого варианта имеется 4 способа выбрать серый носок. Следовательно два носка этих цветов можно получить 2\cdot 4=8 способами. Каждый из таких комплектов можно дополнить одним из 7-ми черных носков. В итоге имеем 2 \cdot 4 \cdot 7 = 56 комбинаций. Осталось вычислить вероятность события: P(A)=1-P(\bar{A})=1-\dfrac{56}{286}=1-\dfrac{28}{143}=\dfrac{115}{143}.

Вопрос репетитору от Элеоноры:
Отправляясь на экзамен, студент подготовил ответы ровно на 30 вопросов из 50. Найти вероятность, что из 3-х заданных вопросов он верно ответит хотя бы на 2.

Репетитор по математике о задаче про студента. Искомая вероятность равна сумме вероятностей двух событий: «ответил ровно на 2 вопроса» и «ответил ровно на 3 вопроса». Каждую из них удобнее всего найти по определению через отношение числа благоприятствующих событию вариантов к числу всех вариантов. Число способов, которыми можно выбрать 2 подготовленных вопроса из 30, равно числу сочетаний C_{30}^2
Число способов, которыми можно выбрать 3 вопроса из 50, равно числу сочетаний C_{50}^3

Тогда вероятность ответа ровно на 2 вопроса будет равна числу P(2)=\dfrac{C_{30}^2}{C_{50}^3}
Вероятность ответа на все 3 вопроса: P(3)=\dfrac{C_{30}^3}{C_{50}^3}
Поэтому вероятность ответа не менее чем на 2 вопроса окажется следующей: P(2;3)=P(2)+P(3)=\dfrac{C_{30}^2}{C_{50}^3}+\dfrac{C_{30}^3}{C_{50}^3}=\dfrac{C_{30}^2+C_{30}^3}{C_{50}^3}=\dfrac{C_{31}^3}{C_{50}^3}

Справка репетитора по математике: в преобразовании было использовано известное в комбинаторике и теории вероятностей свойство: C_{n}^k+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}

Найдем каждое число сочетаний:
C_{31}^3=\dfrac{31!}{3!\cdot(31-3)!}=\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot31}{1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot28}=\dfrac{29\cdot30\cdot31}{6}

C_{50}^3=\dfrac{50!}{3!\cdot(50-3)!}=\dfrac{1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot50}{1\cdot2\cdot3\cdot1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot47}=\dfrac{48\cdot49\cdot50}{6}

Осталось вычислить искомую вероятность P(2;3)=\dfrac{29\cdot30\cdot31}{6} : \dfrac{48\cdot49\cdot50}{6}=\dfrac{899}{3920}

Александр Николаевич, репетитор по математике Москва, Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий