Задача с экзамена по математике в МГУ. Миниурок репетитора

Хочу показать пример своего решения одной из задач вступительного экзамена по математике в МГУ. Условие, взятое из какого то сборника конкурсных задач, уверенно перекочевало в мою тренировочную базу материалов подготовки в МГУ. В качестве примера того, как репетитор по математике должен описать нестандартное решение я показываю я выбрал уравнение с двумя переменными. Рекомендую репетиторам обратить внимание на весьма хитрый, но довольно популярный (для данного рода экзамена по математике) путь исследования нужного свойства функции.

Найдите все пары чисел (x;y), удовлетворяющие равенству \left ( Cos^2x + \dfrac{1}{Cos^2x} \right )^2 + \left ( Sin^2x + \dfrac{1}{Sin^2x} \right )^2 =12 + \dfrac{Sin y}{2}

Образец решения от репетитора по математике:

Фактически мы имеет дело с уравнением двух переменных. Выполним очевидные преобразования левой части. Я предполагаю, что абитуриент МГУ тесно знаком с элементарной математикой и репетитору не нужно разжевывать простые ходы в выкладках. Для тех, чувствует себя в математике не столь «продвинутым», я снабдил некоторые выкладки ссылками на локальные объяснения.

Итак, раскроем скобки в левой части:
Cos^4x + 2 + \dfrac{1}{Cos^4x} + Sin ^4x + 2 + \dfrac{1}{Sin^4x}=12 + \dfrac{Sin y}{2}

Наведем порядок в слагаемых, выделяя сумму четвертых степеней синуса и косинуса, а также приведем обратные к ним величины к общему знаменателю:

Cos^4x + Sin^4x + 4 + \dfrac{Cos^4x+Sin^4x}{Cos^4x \cdot Sin^4 x} =12 + \dfrac{Sin y}{2}

Воспользуемся тождеством Cos^4x + Sin^4x = 1 - 0,5Sin^22x Вы можете изучить его доказательство на странице доказательство тождества с миниурока репетитора по математике.

С его помощью получаем равносильное уравнение:

1 - 0,5Sin^22x +4 + \dfrac{1-0,5Sin^22x}{Sin^4x \cdot Cos^4x}=12 + \dfrac{Sin y}{2}

Учтем, что Sin^4x \cdot Cos^4x = \dfrac{1}{16} Sin^4 2x

5-0,5Sin^22x + \dfrac{1-0,5Sin^22x}{\dfrac{1}{16}Sin^42x}=12 + \dfrac{Sin y}{2}

Левая часть поcледнего равенства — сложная функция f(t(x)), где

t(x)=Sin^22x — внутренняя функция

f(t)= 5- 0,5t + \dfrac{1-0,5t}{\dfrac{1}{16}t^2}  — внешняя функция

Исследуем f (t) на промежутке значений внутренней функции, а с учетом области определения f (t) получаем полуинтервале (0;1] Значения внешней функции на нем составляют полную область значений исходной функции. Докажем, что все эти значения больше или равны 12,5.

Разобьем дробь на отдельные слагаемые и найдем производную. Куда уж без нее бедному репетитору по математике :)

f(t)= 5- 0,5t + \dfrac{16}{t^2}-\dfrac{8}{t}

f

Заметим, что значение производной в точке x=1 — отрицательное. Если бы эта учесть постигла все значения f ' (t) без исключения (на множестве (0;1] ) то мы бы получили убывающую функцию на исследуемом полуинтервале и ее наименьшее значение было бы равно f (1)=12,5. Попробуем доказать данный факт. Для этого достаточно проверить, что числитель g(t)=-t^3+16t-64 во всех точках x \in (0;1] имеет отрицательный знак, что в свою очередь является следствием его возрастания. Тогда найдем еще и его производную:

g Для критических точек x=\pm \dfrac{4}{\sqrt{3}} и знаков производной g'(t) репетитор по математике использует классический рисунок:
Репетитор по математике использует классический рисунок

Производная — обычная парабола с ветвями вниз. Естественно, что отрезок с концами в ее нулях — промежуток положительного знака. Рисунок репетитора по математике с учетом монотонности числителя:
Рисунок репетитора по математике с учетом монотонности

Очевидно, что на нашем полуинтревале (0;1] числитель возрастает. Поэтому он всюду отрицательный и тогда f (t) убывает. Все доказано.

Поскольку значения левой части первоначального уравнения больше либо равны 12,5 и значения правой, очевидно, меньше либо равны этой границе, то их равенство возможно только тогда, когда обе части равны числу 12,5.

Левая часть достигает минимума в 12,5 только при условии Sin^22x=1. Оно соответственно выполняется если:

1) Sin 2x=1 \implies 2x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n \implies x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n

или

2) Sin 2x=-1 \implies 2x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n \implies x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n

Объединяя случаи, получаем x=\pm \dfrac{\pi}{4}+\pi n или можно записать еще проще:

x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2}

Немного поработаем с правой частью:

12 + \dfrac{Sin y}{2}=12,5

Sin y=1

y=\dfrac{\pi}{2}+2 \pi k

Окончательный ответ:
\left ( \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi n}{2} ;\dfrac{\pi}{2}+2 \pi k \right )

Приятно было надеяться, что Вы следили за ходом моих мыслей и все поняли. Если возникают проблемы с подготовкой к экзамену в МГУ — обращайтесь за систематической помощью к соответствующим репетиторам по математике. Буду рад видеть Вас на своих занятиях в Строгино. Возможно, если Ваша точка в Москве окажется для меня удобной, я приеду к Вам сам. Для качественной серьезной подготовки к МГУ предоставьте репетитору по математике хотя бы год времени. Лучше начать с сентября или даже использовать крайне опасный для сохранения знаний летний период. Звоните договаривайтесь! Удачных экзаменов в МГУ.

С уважением, Александр Николаевич, репетитор по математике из Москвы. Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий