Можно проверить, и доказать, что для перевода обыкновенной дроби в десятичный код (код конца соответствующего ей отрезка) можно использовать обычное деление в столбик. А в этом случае получается периодическая дробь. Например, 3/7=0,428571428571428571428571... или коротко 0,(428571). Все обыкновенные дроби имеют периодические коды.
Однако, можно организовать последовательность выбора отрезков, что в дясятичном коде не будет повторяться никакой одинаковый набор цифр, например 5,5050050005000050000050000005...
Все эти отрезки, вложенные друг в друга, будут иметь по теореме Кантора единственную общую точку. Она не может изображать обыкновенную дробь, и поэтому для ее координаты нет никакой иной привычной и знакомой записи, кроме этого кода. Мы вынуждены мириться с тем, что нужно вводить новые числа, как-то их называть, обозначать более или менее удобно и вводить действия с ними.
Cложение иррациональных чисел.
Числа назовем иррациональными, а действия будем выполнять так, чтобы их результаты означали бы тоже самое, что и в случае с рациональными. Почему? К отрезку с длиной 5,5050050005000050000050000005 можно «положить» рядом отрезок длиной 2 см? Да. Получится новый отрезок, длину которого надо научиться как то измерять.
Рациональной длины у него нет (это очень легко доказывается). Раньше мы находили длину этого отрезка сложением. Не будем разрушать сложившийся образ и назовем суммой чисел 5,5050050005000050000050000005... и 2 именно длину их «склейки».
Умножение иррациональных чисел.
Что показывает произведение двух рациональных чисел? Площадь прямоугольника, построенного на этих сторонах. Не будем разрушать и это представление о результате умножения и назовем произведением иррациональных чисел -площадь прямоугольника, построенного на таких отрезках.
На самом деле, в высшей математике, а именно в такой ее дисциплине, как «основания математики» понятие «площадь» вводится более точно, более тонко и очень сложно. Необходимость измерять площади любых фигур так, чтобы их зрительное сравнение (если одна фигура внутри другой — значит ее площадь меньше площади первой) соответствовало числовому, заставляет определить площадь прямоугольника с иррациональными сторонами так, чтобы сохранялось отношение порядка. Для этого вводятся понятия супремум и инфинум множества, отдельно изучаются и уже после них вводится точное определение квадрируемости фигуры, в частности площади прямоугольника: рассмотрим множество всех прямоугольников с рациональными сторонами, расположенных внутри заданного прямоугольника и множество те, которые его в себя содержат. Их площади определяются произведением рациональных чисел. Супремум «вписанных» площадей и инфинум «описанных» существуют, совпадают (это доказывается) и такое число называется площадью прямоугольника.
Это определение называют предельным. Площадь прямоугольника с иррациональными сторонами это некоторое число, расположенное на числовой прямой. Для фигур с кривыми границами есть очень близкое по «духу» определение через вписанные и описанные многоугольники.
Далее через супремум и инфинум четко доказывается свойства умножения. Самое важное из них — распределительный закон.
а(в+с)=ав+ас
Площадь (супремум) прямоугольника с иррациональным сторонами (а, в+с) равна сумме площадей (сумме супремумов) двух других прямоугольников со сторонами (а, в) и (а,с).
Следствием распределительного закона для иррациональных чисел являются сохранение правил раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых и формул сокращенного умножения. Поэтому удается аккуратно и строго доказать теорему Пифагора, а чрез нее можно получить целый букет чисел (сторон прямоугольников) квадраты которых (результаты их умножения на себя) равны двум, трем, пяти и так далее...Поэтому существуют числа :
Вот так. Конечно, школьнику этого не объяснишь. Тем более, не объяснить, почему существует такое число:
Для этого вводится деление иррациональных чисел и средствами геометрии через него и через подобие доказывается, что по заданному прямоугольнику даже с иррациональными сторонами можно построить квадрат с той же площадью (для этого надо научиться через окружность, построенную на диаметре а+в, получать сторону будущего квадрата — отрезок длины «корень из ав»).
Тогда рассматривая, например, прямоугольник со сторонами «корень из 2» и «единица», можно будет сказать, что существует отрезок (то есть число) у которого квадрат равен уже «корню из трех, умноженному на единицу»,то есть существует корень из корня из двух.
Это все сложнейшие вопросы основания математики. Естественно, что примерно 95 процентов репетиторов по математике сами в этом не разбираются, а если и разбираются, то не смогут донести и десятой части всей этой кухни даже до очень сильного ученика.
Я обычно обрываю объяснения на распределительном законе умножения иррациональных чисел, говорю, что теорема Пифагора верна и получаю корни из двух, из трех и пяти через нее. Этого вполне достаточно. Среднему и, тем более слабому ученику хватит объяснения существования корня из двух через рисунки квадратов.
Колпаков А.Н. Репетитор по математике.
