Номер 16 с ЕГЭ по математике 2015г. Два решения репетитора

Предлагаю всем заинтересованным в успешном написании профильного ЕГЭ по математике школьникам, а также их репетиторам примеры моих решений и оформлений задач с реальных экзаменов в 2015г. Источник — вариант ЕГЭ, который предлагался для Москвы. Здесь и сейчас сейчас рассмотрим задачу №16 (стереометрия).

Формулировка:
Основание пирамиды SABCD — прямоугольник ABCD со сторонами AB=24 и BC=7. Известны длины боковых ребер: SA=\sqrt{51}; SB=\sqrt{627} и SD=10
1) докажите, что SA — высота пирамиды
2) Вычислите угол между прямыми SA и BD

Задача 16 с ЕГЭ по математике 2015г

Пункт 1. Если любимый репетитор по математике подружил Вас за период подготовки к ЕГЭ со стереометрией, Вам должен быть хорошо известен признак перпендикулярности плоскости и прямой. Вспомним его: если данная прямая перпендикулярна каким-нибудь двум пересекающимся прямым в плоскости, то эта прямая будет перпендикулярна этой плоскости. Тогда для пункта 1 достаточно доказать, что SA \perp AD и SA \perp AB .

Очевидно, что в треугольнике ASB верно равенство SB^2=SA^2+AB^2 (так как (\sqrt{627})^2=(\sqrt{51})^2+24^2).

Тогда по обратной тереме Пифагора репетитор по математике делает вывод, что \angle SAB=90^{\circ} .

Аналогично в \triangle SAD : SD^2=SA^2+AD^2 \implies \angle SAD=90^{\circ}

В силу верности признака перпендикулярности делаем вывод, что SA \perp (ABCD)

Пункт 2.

Задача 16 с ЕГЭ по математике пункт 2

Проведем через C прямую, параллельную диагонали BD до пересечения с AB в точке K ( то есть сдвинем диагональ BD ). Тогда BKCD — параллелограмм (поэтому BK=CD=AB=24) и \angle (BD;SC)=\angle SCK

В треугольнике ABD по теореме Пифагора: BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{24^2+7^2}=\sqrt{625}=25

В треугольнике SAK по теореме Пифагора: SK=\sqrt{SA^2+AK^2}=\sqrt{51+48^2}=\sqrt{2355}

В треугольнике SAС по теореме Пифагора: SC=\sqrt{SA^2+AC^2}=\sqrt{51+25^2}=\sqrt{676}=26

В треугольнике SKC по теореме косинусов:
SK^2=SC^2+KC^2-2\cdot KC \cdot SC \cdot Cos SCK

2355 = 676 + 625 - 2 \cdot 26 \cdot 25 \cdot Cos C

1054=-2\cdot 26 \cdot 25 \cdot Cos \angle SCK
527=- 26 \cdot 25 \cdot Cos \angle SCK

Cos \angle SCK = - \dfrac{527}{650}
Заметим, что углом между прямыми принято считать острый уголок, поэтому отрежем знак минус от косинуса и получим косинус смежного угла с углом SCK. Тогда

\angle SCK=arcCos \left ( \dfrac{527}{650}\right )

Второй способ: (это личная инициатива репетитора по математике, ибо на ЕГЭ совсем не обязательно решать 16-й номер разными методами)
Личная инициатива репетитора по математике
Введем систему координат так, как она показана на рисунке, принимая длину единичного отрезка на осях меру измерения длин наших отрезком. Запишем координаты вершин, а затем и соответствующих им векторов :

S(0;0;\sqrt{51}) и C(7;24;0) \implies \overrightarrow{S C} \left \{ 7; 24; - \sqrt{51} \right \}

B(0;24;0) и D(7;0;0) \implies \overrightarrow{B D} \left \{ 7;-24;0 \right \}

Применим формулу вычисления косинуса угла между прямыми через направляющие вектора (Если Вы ее не знаете — обратитесь либо к репетитору по математике, либо к справочной странице моего сайта : метод координат в пространстве

Cos (\widehat{SC,BD}) =\left \vert Cos(\widehat{ \overrightarrow{SC},\overrightarrow{BD}}) \right \vert =\left \vert \dfrac{\overrightarrow{S C} \cdot \overrightarrow{B D} }{|\overrightarrow{S C}| \cdot |\overrightarrow{B D}|} \right \vert =

=\left \vert \dfrac{7 \cdot 7 + 24 \cdot (-24) + (-\sqrt{51}) \cdot 0}{\sqrt{7^2+24^2+(\sqrt{51})^2} \cdot\sqrt{7^2+(-24)^2+0^2} } \right \vert = \dfrac{527}{\sqrt{625} \cdot \sqrt{676}}= \dfrac{525}{650}

\angle SCK=arcCos \left ( \dfrac{527}{650}\right )

Рейтинг решения

Проголосуйте за понравившееся Вам решение задачи 16.
  • Какое решение репетитора по математике Вам больше понравилось?

Плановая фундаментальная подготовка для понимания сути выкладок в задаче 16 возможна с репетитором по математике в спокойных условиях еженедельных занятий в течение года — двух лет (как минимум). Не запускайте текущую математику по школе и регулярно повторяйте, решайте, спрашивайте и проверяйте. Тогда ЕГЭ вовсе не будет так страшен и ужасен.

С пожеланиями наилучшей сдачи ЕГЭ в 2016 году, репетитор по математике Колпаков А.Н. Москва. Домашние занятия в Строгино.

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий