Как репетитор по математике использует открытые задачи

Для того чтобы дать некоторым задачам по геометрии название «открытые», рассмотрим характеристики обычной классической задачи. Как правило, средний репетитор по математике только их и использует на своих занятиях, решает по учебнику один номер за другим и часто забывает или не знает об эффективности некоторых альтернативных и нестандартных форм работы.

Так что же такое открытая задача в сравнении с классической? Последняя обычно состоит из данных (условия) и вопроса (цели). При этом у большинства из них мы встретим вопросы только двух типов: на нахождение (вычисление, построение, поиск алгоритма) или на доказательство. Кроме того, в классической задаче обычно неявно предполагается следующее: 1) данных условия достаточно для решения, 2) среди них нет лишних, 3) ученик обладает необходимым объемом знаний (методов и фактов) и способностей для достижения поставленной цели.

Понятно, что структура таких задач имеет немалое количество достоинств. Однако многие навыки, необходимые школьнику 7-9 класса для успешной учебы в будущем, репетитору трудно сформировать только на их базе. Хорошие репетиторы по математике наряду с традиционными формами вопросов, таких как «найдите» и «докажите», периодически ставят и альтернативные (как в процессе решения задач, так в процессе изучения теории) и стремиться к формированию у ученика умения задавать их самому себе. Такая форма заданий называется открытой. Приведем примеры вопросов открытой формы:

1) Верно ли сформулированное утверждение? Если оно верно, то как его можно доказать? А если оно неверно, то каким будет пример для опровержения?

2) Что можно и что нельзя вычислить (доказать) на основе данных условия?

3) Нельзя ли ослабить или усилить утверждение?

4) Как исправить неверное утверждение, чтобы оно стало верным? Чем его дополнить или как его сократить?

5) Как продолжить последовательность утверждений (задач)?

6) Верен ли изучаемый факт в предельном случае? Если да, то будет ли распространяться найденное доказательство для частного случая на предельный случай или его необходимо проверять иным способом?

7) Какие задачи можно решать изучаемым методом?

и т.д.

Очевидно, что репетитор по математике имеет возможность менять или дополнять формулировки, предлагая множество вариантов вопросов даже на базе условий обычных классических задач. Приведем показательный приемр одной из типовых задач школьного учебника геометрии (Атанасяна и Погорелова) по теме средняя линия треугольника:

Открытая задача репетитора по математике
Точки M, N, K и P — середины сторон AB, BC, CD и DA произвольного четырехугольника ABCD. Докажите, что MNKP — параллелограмм.

Как репетитор по математике переделывает задачу:
Как репетитор по математике переделывает задачу
Точки M, N, K и P — середины сторон AB, BC, CD и DA произвольного четырехугольника ABCD. Будет ли четырехугольник MNKP параллелограммом? Можно ли дполнить (изменить) условие, чтобы MNKP стал:

а) прямоугольником
Прямоугольник из середин. Решение репетитора

б) ромбом
Пример рисунка c ромбом

в) квадратом
Пример рисунка на квадрат

Как репетитор по математике опровергает обратное утверждениеВерно ли обратное утверждение: если MNKP — параллелограмм, то его вершины — середины сторон четырехугольника ABCD?

Сложившаяся в отечественной школе традиция обучения, к сожалению, приносит на уроки математики достаточно однотипные в структурном отношении упражнения. Это относится и к методам познания теории и разговорам вокруг содержания самих задач. ЕГЭ по математике только углубило эту колею и преподаватели повально занялись натаскиванием абитуриентов на простое запоминание решений. Причем еще более узкого класса задач.

Когда репетитор по математике применяет открытые задачи?

Если репетитор имеет в своем распоряжении достаточное количество времени на занятия со споосбным учеником, то в перспективе его роста наибольшую пользу принесли бы именно открытая методика. В ней максимально возможное число вопросов и данных (в их число входят также и теоремы базового курса геометрии) репетитором по математике подавалось бы в свободном виде: готовые формулировки утверждений заменялись бы неполными конструкциями на обобщение или исследование какой-нибудь геометрической ситуации, сочинительством задач по результатам этих исследований и т. д. Такую форму учебной деятельности тоже можно назвать отрытой.

Однако, работать с методикой непросто. При ее использовании репетитор по математике крайне осторожно должен выбирать не только содержание сюжетов задач, но и вопросов к ним. Надо иметь в виду следующее:

Во-первых, предложенные открытые формулировки школьникам нравятся далеко не одинаково. И уровень вопросов, как и уровень самих задач, бывает разным. Многих из них требуют определенного объема мышления, индивидуального для каждого ученика. существует некий предел размера неопределенности, которую мозг человека способен обработать (а в открытых задачах он сильно завышен). Поэтому при работе с открытой методикой репетитор по математике обязан хорошо изучить учащегося и тем более не применять открытые задачи на первых же уроках.

У большинства детей задача, сформулированная по принципу «пойди туда, не знаю куда», вызывает по началу скрытое отторжение и чувство некой неуверенности. Только математически одаренные дети с удовольствием уходят в эту пучину, так как любят искать выходы из сложных ситуаций максимально самостоятельно. Но и в таком случае у каждого из них есть свой предел возможностей, о котором репетитору по математике не стоит забывать.

Во-вторых, работая с открытыми задачами, репетитор обязан учитывать временной фактор. Опытный преподаватель с некоторой точностью умеет распределить время для того или иного типа ученика между обычной работой и «открытой». Но только для решения задач. Предсказать, сколько времени понадобится на исследование описанных репетитором ситуаций, гораздо сложнее. Для продуктивной работы с открытыми задачами репетитор по математике должен рассчитать скорость движения по системе (циклу) таких задач. Порой приходится менять предусмотренный программой и школьным преподавателем график изучения тем и даже порядок из расположения. Это позволяет делать система листочков, о которой мы поговорим в следующий раз.

В-третьих, решение открытых задач имеет значительно большую содержательную неопределенность, чем просто решение обычных классических. Двигаясь по «дороге исследователя» ученик часто натыкается на такие факты мира математики, изучение которых отложено программой на более поздний период. Случается так, что репетитор находит с учеником достаточно интересные и на первый взгляд стройные «доказательства» неверных утверждений. Поиск ошибок в них является чрезвычайно полезным и развивающим видом деятельности.

О периоде наибольшей эффективности методики

Применение задач с открытыми формулировками имеет максимальный эффект в тот период обучения, когда работа репетитора по математике ведется со средним/сильным учеником 8 класса в рамках курса геометрии. К этому моменту накапливается определнная вычислительная база, база фактов и навыков, на основе которых можно и нужно учить детей логическим рассуждениям и исследованиям. Сегодня далеко не в каждой школе уроки строятся в целью научить ребенка думать. Большинство из них занимает подготовка к ЕГЭ по математике с ориентиром на экзаменационные варианты. Поэтому они мало похожи на настоящие уроки математики. Слишком уж это непрстое занятие — развитие мышления ребенка. Проще заняться заучиванием.

Колпаков А.Н. Репетитор по математике, применяющий открытую методику

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий