Репетитор по математике в работе с кубом

Стереометрия — сложный предмет, результат обучения которому зависит не только от мастерства преподавателя, но и от способностей обучающегося и от того, в каком временном режиме проходят занятия. Репетиторы по математике редко отбирают учеников. Обычно принимаются все желающие, и примерно половина набранных учеников приходит в самый последний момент, когда до ЕГЭ остаются считанные месяцы, а то и недели. Причем уровень знаний у такого позднего воспитанника часто оказывается ужасающим.

Когда репетитор по математике берется в 10 — 11 классе за сильно отстающего ученика, то приходится прибегать к методам «скорострельного обучения». Времени на занятия отводится так мало, что не удается аккуратно и неспешно изложить материал по всем методическим правилам и канонам. Даже если с вами работает репетитор по математике — суперпрофессионал, старательно и ответственно относящийся к делу. Сократить в 11 классе отставание от программы более чем на год при стандартных методиках удается не часто (то есть когда ученик усваивает с репетитором материал двух лет). При режиме занятий «2 раза в неделю» пройти 2 класса за один год еще реально, чего не скажешь о занятиях с меньшей периодичностью.

Если отставание более сильное и времени не хватает, то близость ЕГЭ потребует от репетитора значительного изменения стандартного учебного плана в сторону ускорения работы с элементарными понятиями, ибо подготовка к ЕГЭ по математике только частично затрагивает материал 6 класса (проценты, диаграммы, графики) и 8 класса (простейшая планиметрия + текстовая задача). Остальное берет на себя 10-11 класс. Из-за того, что программа 8 — 9 класса интегрирована в ЕГЭ главным образом в номера для старшеклассников, коэффициент полезного действия репетитора по математике в работе по повторению курса 6-9 оказывается крайне низким.

Такая же история и со стереометрией: задания на простейшие стереометрические объекты, изучаемые в 10 классе, практически полностью отсутствует на ЕГЭ, однако навыки работы с ними в пирамидах, параллелепипедах, кубах, цилиндрах и даже в конусах требуются не только в «С» части (особенно с учетом новых требований ЕГЭ по математике 2012 г.). Родители, как правило, не разбираются в том, каким должен быть порядок изложения материала и насколько правильно выбрана стратегия занятий. Поэтому мнение о репетиторе по математике складывается на основе анализа текущих оценок в школе. Но школьная программа «не заточена» под часть «B» и вместо практической подготовки к ЕГЭ по математике ученику приходится углубляться в построение стереометрии согласно общему школьному плану. Этот план требует детального изучения скрещивающихся прямых, параллельных и перпендикулярных прямых, параллельных и перпендикулярных плоскостей, углов между различными объектами и др. Кроме самих понятий приходится учить множество теорем и свойств. Откуда репетитору по математике взять столько времени на теорию? Вопрос риторический.

Поэтому изучением теории приходится заниматься по минимуму, жертвуя и целостностью и строгостью изложения материала.

Как репетитор работает с простейшими стереометрическими понятиями?

Для того, чтобы закрепить с учеником такие понятия как параллельность, перпендикулярность, скрещивающиеся прямые и др. авторами школьных программ предлагается решать тематические задачи на отдельные темы, не привязанные к многогранникам. Условия задач создаются искусственно и нацеливаются на отработку логики фактов, а не вычислительных навыков. Задач мало, а времени на неспешное освоение предмета, как я уже говорил, репетитору по математике всегда не хватает. Добавим сюда скромные способности отстающего ученика и получим настоящий цейтнот, из которого далеко не каждый репетитор по математике способен выйти. Как быть? Нужны и оценки и развитие, а тут еще и подготовка к ЕГЭ. На помощь репетитору приходит самый удобный и простой многогранник из всех существующих, а именно – куб!!!!

Как репетитор по математике использует возможности куба?

Куб – азбука стереометрии. Его элементы отражают все главные понятия и теоремы школьного курса стереометрии (10 класс). Для репетитора есть уникальная возможность показать на примере куба работу большинства начальных понятий и теорем. Проблема заключается только в том, что школьники проходят их до изучения призм (куб – одна из ее разновидностей), а по строгим логическим законам математики (и геометрии в частности) нельзя произвольно менять порядок следования тем. Однако репетитор по математике постоянно чем-то жертвует во благо результата (в нашем случае во благо сдачи ЕГЭ). Вот и здесь мы забежим вперед и покажем на элементах куба работу нескольких базовых теорем.

Прежде чем что-либо доказывать и объяснять, необходимо выделить свойства объекта, на которые можно опереться. Что именно репетитор по математике использует для работы с кубом? У школьников куб ассоциируется с неким телом (многогранником) у которого во всех гранях находятся квадраты. Вы сами можете в этом убедиться, если спросите о том, чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда. Трое учеников из четырех вам скажут: «у куба квадраты, а у параллелепипеда прямоугольники». Так почему же репетитору по математике не воспользоваться сформированным представлением о кубе, которое школьник получил еще в 5 классе? Квадраты приносят параллельность ребер. Именно на ней и строится «скорострельная» разъяснительная работа репетитора. Проиллюстрируем на элементах куба:
1) признак параллельности прямых (при помощи его ребер)
2) признак параллельности прямой и плоскости (на ребре и грани)
3) параллельность плоскостей (на противоположных гранях)
Также на кубе легко показать работу признака скрещивающихся прямых: одна прямая (диагональ грани) лежит в плоскости (в этой грани), а другая (ребро куба) пересекает ее в точке, не лежащей на первой прямой.

Как репетитор по математике показывает признак параллельности прямых?

Принимая во внимание тот факт, что все грани куба являются квадратами, репетитору по математике будет несложно объяснить параллельность ребер и . Для достаточно указать на параллельность каждого из них ребру . Легко показать, что и . Отсюда . Безусловно, эта иллюстрация не может заменить полноценную работу, направленную на запоминание признака, но мы сейчас говорим о скоротечной подготовке к ЕГЭ по математике, проводимой репетитором в экстремальных условиях. Когда знаний нет никаких, а времени на занятия выделяется мало.

Как репетитору математики показать признак параллельности прямой и плоскости?

Напомню формулировку признака: если прямая, не лежащая в плоскости, параллельная какой-нибудь прямой, лежащей в плоскости, то данная прямая параллельна данной плоскости. Берется любая грань куба и его ребро, параллельное какому-нибудь ребру в этой грани. Например, и ребро . Логика проверяется легко :

Как репетитор по математике иллюстрирует работу признака параллельности плоскостей

И здесь можно найти пример использования признака на элементах куба. Для этого необходимо указать две пары пересекающихся ребер, лежащих в двух гранях, и воспользоваться их параллельностью. Можно взять . Тогда на основании признака репетитор делает вывод о параллельности плоскостей и . Это показано на рисунке слева. Полная формулировка признака такова: Точна формулировка признака следующая: если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то плоскости параллельны.

Как называть грани куба?

Употребление буквенного обозначения граней сильно тормозит процесс их визуального представления. Лучший вариантом для репетитора по математике будет использование фраз «ближняя грань», «дальняя грань», «левая грань», «правая грань», а также «верхняя» и «нижняя». Помимо словесного обращения к элементам куба репетитор по математике может закрашивать используемые сечения и грани разным цветом. Это выделяет объекты на сложном рисунке.

Как надо рисовать куб?

Вопрос может показаться странным, ибо как рисуется куб знают все. Кажется, что достаточно показать невидимые линии пунктиром и рисунок готов. Однако и здесь есть свои «грабли». Рисунок должен быть таким, чтобы на нем легко читались все диагонали и сечения. Если при изображении куба репетитор по математике отмечает вершину на продолжении диагонали ближней грани , то диагональ куба сольется с отрезком . Таким образом диагонального сечения мы либо не увидим вовсе (как на рисунке справа), либо оно представится узкой полоской (рисунок слева), на которой невозможно будет ничего показать.

Я всегда советую ученику, что вершину при изображении куба нужно сдвигать вправо от диагонали ближней грани. На листе в клеточку, можно поставить вершины дальней грани со неравным смещением вправо и вверх относительно соответствующих вершин ближней грани. Это показано на рисунке справа.

Репетитор по математике Москва. Колпаков А.Н.