Задать репетитору по математике вопрос по предмету

Вопрос от Айрата: Среди чисел вида $7n+1$ найдите первые $3$ числа, которые делятся на $10$ .

Развернутое решение репетитора по математике.Можно получить формулу для всех таких чисел. Пусть $a=7n+1$ и $a=10k$ , тогда умножив первое равенство на $10$ , а второе на $7$ , получим:

$\begin{cases} 10a=70p+10\\ 7a=70k\end{cases}$

Умножая первое равенство на $5$ , а второе на $7$ , получим:

$\begin{cases} 50a=70\cdot 5 p+50\\ 49a=70\cdot 7 k\end{cases}$

После вычитания последних двух равенств будем иметь: $a=70(5p-7k)+50$ . То есть любое число, имеющее остаток $1$ при делении на $7$ и кратное $10$ , получается по формуле $a=70 \cdot t +50$ , где $t\in Z$ . Легко доказать и обратное: любое число, получающееся по формуле $a=70 \cdot t +50$ , дает остаток $1$ при делении на $7$ и кратно $10$ . Поэтому эта формула описывает все множество интересующих нас чисел. Теперь достаточно подставить в нее значения $t_1=0, t_2=1, t_3=2$ и получить ответ : $50$ , $120$ и $190$ .

Вопрос репетитору по математике от Никиты: Как наиболее рационально упростить выражение:Учебник по математике: Макарычев, Миндюк, 2010 г, 9 класс.

Решение. Никита, есть замечательная формула для возведения разности выражений в куб: Она изучается в математических классах вместе пятью главными формулами сокращенного умножения. Если в ее правой части из двух слагаемых вынести $3ab$ за скобку, получим более удобный вид:Воспользуемся этой формулой для $a=\sqrt[3]{5\sqrt{2}+7}$ и $b=\sqrt[3]{5\sqrt{2}-7}$ . Обозначая разность корней буквой x, после несложных преобразований получим кубическое уравнение относительно икса: Решить его можно при помощи метод подбора рационального корня (очевидно, что это $x=2$ ) и деления в столбик многочлена на многочлен. Вместо столбика можно воспользоваться схемой Горнера. Легко выяснить, что кроме подобранного числа x=2 уравнение других корней не имеет. Поэтому ответ : 2. Я не пробовал, но возможно выражения под кубическими корнями представляются в виде полных кубов хороших иррациональностей. Но при таком подходе, как минимум, утомишься подбирать слагаемые.

Вопрос по математике от Елизаветы: Вероятность какого события является значением функции распределения случайной величины?

Репетитор о решении. Значением функции распределения случайной величины в точке x называется вероятность того, что случайная величина Х приняла значение, меньшее чем x, то есть $F(x)=P(X<x)$ .

Вопрос репетитору по математике от Глеба: Здравствуйте! Подскажите пожалуйста как найти значение производной функции $y=2Cosx-3x^2$ в точке $x_0=0$

Решение задачи. Найдем производную функции (используя правило «производная разности» и пару табличных производных), а затем подставим в нее заданную точку: $f$ Теперь найдем значение производной в указанной точке: $f$

Вопрос от Эдварда: В треугольнике АВС: АВ=ВС=СА. Радиус описанной окружности равен 2 см. Как найдите длину дуги АВ?

Объяснение репетитора по математике к задаче про дугу. Виртуальный репетитор по математике. Задача про дугу Так как треугольник равносторонний, то $\triangle AOB= \triangle BOC = \triangle COA$ по третьему признаку равенства треугольников. Поэтому их углы при вершинах O равны. Следовательно можно найти градусные меры центральных углов всех дуг: $\angle AOB= \angle BOC = \angle COA = 360:3=120^\circ$ . Длина дуги находится по формуле $C=\dfrac{\pi \cdot R}{180^\circ} \cdot n^\circ$ , где $n^\circ$ — градусная мера соответствующего ей центрального угла. Поэтому $C=\dfrac{\pi \cdot 2}{180^\circ} \cdot 120^\circ=\dfrac{4 \pi}{3}$ .

Вопрос к репетитору от Татьяны: Здравствуйте, помогите пожалуйста найти производную функции $y=2arctgx$ и квадратичный корень из х-1 деленное на х.

Публикация решения. $(2arctgx)$ $\left ( \sqrt{\dfrac{x-1}{x}} \right )$ $=\dfrac{1}{2\sqrt{x^4-x^3}}$

Вопрос от Ангелины: Как доказать, что любые различные три числа не могут одновременно быть членами и арифметической и геометрической прогрессии.

Репетитор по математике о доказательстве свойства. Пусть a, b и c данные числа. Если они образуют арифметическую прогрессию, то $b=\dfrac{a+c}{2}$ , а если геометрическую, то $b^2=a \cdot c$ . Допустим, что это произошло одновременно. Тогда $\left ( \dfrac{a+c}{2} \right )^2 =a \cdot c$ . Возведем левую часть равенства в квадрат. После переноса выражения $a \cdot c$ в левую часть и приведения дробей к общему знаменателю получим равенство $(a-c)^2=0$ , из которого следует, что $a=c$ . Так как по условию задачи числа $a$ и $c$ различны, то получаем противоречие с условием. Следовательно никакие три числа не могут быть одновременно членами и той и другой прогрессии.

Вопрос к репетитору от Павла: Как доказать, что корни уравнения $x^2+px+q$ , где $p$ и $q$ — нечётные числа, иррациональны?

Репетитор по математике. Доказательство свойства. Если рациональная несократимая дробь является корнем многочлена, то ее числитель должен быть делителем свободного коэффициента, а знаменатель делителем старшего коэффициента. Поэтому, так как в нашем квадратном уравнении старший коэффициент равен 1, то уравнение может иметь только целые корни. Докажем, что и их нет. Если бы имелся четный целый корень, то первые два слагаемых делились бы на него, и следовательно на него делился бы свободный коэффициент q. А так как q — нечетное, то это невозможно. Если бы уравнение имело нечетный целый корень x=2n+1, то было бы верно равенство $(2n+1)^2+p(2n+1)+q=0$ , или $4n^2+4n+1+2pn+p+q=0$ . Учитывая нечетность q и p можно сказать, что тогда p+q — четное число. А так как в последнем равенстве все слагаемые, кроме единицы — четные, то и этот вариант невозможен (иначе бы единица делилась на 2). Решение пришло в голову за 1 минуту. Если посидеть и подумать, то возможно найдется еще более простое объяснение.

Вопрос от Аллы: Здравствуйте, помогите пожалуйста доказать неравенство: $\dfrac{1}{1001} + \dfrac{1}{1002} + \dfrac{1}{1003}+...+\dfrac{1}{2000}<\dfrac{1}{2}$

Пояснения репетитора по математике. Оценим значение каждого слагаемого, сравнивая его с дробью $\dfrac{1}{2000}$ . Очевидно, увеличивая знаменатель до $2000$ , мы уменьшаем значение дроби, поэтому $\dfrac{1}{1001} + \dfrac{1}{1002} + \dfrac{1}{1003}+...+\dfrac{1}{2000}<\dfrac{1}{2000} + \dfrac{1}{2000} + \dfrac{1}{2000}+...+\dfrac{1}{2000}$ Так как количество дробей равно $2000-1000=1000$ штук, то $\dfrac{1}{1001} + \dfrac{1}{1002} + \dfrac{1}{1003}+...+\dfrac{1}{2000}< \dfrac{1000}{2000}=\dfrac{1}{2}$ . Что и требовалось доказать.

Вопрос репетитору от Степана: Добрый вечер, Александр Николаевич. Проконсультируйте, пожалуйста, как решить уравнение $(x+2)(x+3)(x+8)(x+12)=4x^2$

Полное решение. Вам встретилось классическое уравнение на замену переменной. Только она не лежит на поверхности. В этом случае необходимо выполнить преобразование, которое поможет выявить повторяющееся выражение. Репетитор по математике, имеющий опыт работы с конкурсными заданиями, хорошо знает этот тип уравнений и выявляет замену по главной особенности линейных скобок: произведение свободных коэффициентов первой и четвертой скобки совпадает с аналогичным произведением у второй и третьей. Поэтому, если их перемножить и вынести из каждого произведения $x$ за скобки, то переменная уйдет их невыгодных для замены слагаемых при первой степени и попадет к равным свободным, то есть: $(x^2+14x+24)(x^2+11x+24)=4x^2$ $x(x+14+\dfrac{24}{x}) \cdot x(x+11+\dfrac{24}{x})=4x^2$ Так $x=0$ не является корнем (это легко определяется подстановкой его в исходное уравнение), поэтому все преобразования (вынесение $x$ за скобку и сокращение на $x^2$ ) являются равносильными. После сокращения на $x^2$ делаем замену: $x+\dfrac{24}{x}=t$ После замены уравнение преобразуется в квадратное: $(t+14)(t+11)=4$ , корнями которого будет числа $t_1=-15$ и $t_2=-10$ . Возвращая их в замену, получаем два уравнения $x+\dfrac{24}{x}=-15$ и $x+\dfrac{24}{x}=-10$ Первое имеет корни $x = \dfrac{-15 \pm \sqrt{129}}{2}$ , а второе $x=-6$ и $x=-4$ .

Вопрос репетитору от Никиты: Помогите справиться с задачей. 9 класс. Программа по математике — Макарычев, Миндюк, 2010 г. Задача:Известно, что числа $a^2, b^2, c^2$ — являются членами некоторой арифметической прогрессии. Докажите, что числа $\dfrac{1}{b+c}, \dfrac{1}{a+c}, \dfrac{1}{b+c}$ тоже являются членами некоторой арифметической прогрессии.

Решение для Никиты. Воспользуемся известным характеристическим свойствами: числа m,n,k являются членами арифметической прогрессии только тогда, когда второе число является средним арифметическим двух крайних чисел, то есть $n=\dfrac{m+k}{2}$ . Так как наши числа $a^2, b^2, c^2$ — образуют арифметическую прогрессию, то для них верно равенство $b^2=\dfrac{a^2+c^2}{2}$ или $a^2+c^2-2b^2=0$ . Для того, чтобы доказать, что числа $\dfrac{1}{b+c}, \dfrac{1}{a+c}, \dfrac{1}{b+c}$ образуют арифметическую прогрессию, необходимо проверить второе характеристическое равенство: $\dfrac{\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}}{2}=\dfrac{1}{a+c}$ . Для его доказательства рассмотрим разность между левой и правой частью и докажем, что она равна нулю: $\dfrac{\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}}{2}-\dfrac{1}{a+c}=\dfrac{a+b+b+c}{2(b+c)(a+b)}-\dfrac{1}{a+c}$ = $=\dfrac{(a+2b+c)(a+c)-2(b+c)(a+b)}{2(b+c)(a+b)(a+c)}= \dfrac{a^2+c^2-2b^2}{2(b+c)(a+b)(a+c)}=0$ . Что и требовалось доказать.

Вопрос от Дарьи: Здравствуйте! Подскажите, пожалуйста, идею решения задачи: пусть $\dfrac{m}{n}$ положительная несократимая дробь, а $\dfrac{4m+3n}{5m+2n}$ дробь сократимая. На какие натуральные числа она сократима?

Репетитор по математике об алгоритме решения. Прежде всего укажем важное свойство наибольшего общего делителя, которое будет использовано: НОД $(m;n)$ =НОД $(m-n;n)$ . Поэтому если дробь $\dfrac{m}{n}$ — несократимая, то НОД $(m;n)=1$ , следовательно НОД $(m-n;n)=1$ , то есть числа $m-n$ и $n$ — взаимно простые.Вернемся к решению задачи. Для того, чтобы найти все числа, на которые сокращается дробь, необходимо найти у ее числителя и знаменателя наибольший общий делитель, так как он делится на любое из них.НОД $(5m+3n;4m+3n)$ =НОД $(5m+3n-(4m+3n);4m+3n)$ =НОД $(m-n;4m+3n)$ =НОД $(m-n;4m+3n-(m-n)\cdot4)$ =НОД $(m-n;7n)$ .Так как дробь $\dfrac{4m+3n}{5m+2n}$ сократима, следовательно, НОД $(5m+3n;4m+3n) \ne 1$ , тогда НОД $(m-n;7n) \ne 1$ . Если этот наибольший общий делитель не равен $7$ , то тогда на него должно делиться и $m-n$ и $n$ одновременно, а этого быть не может, так как числа $m-n$ и $n$ — взаимно просты. Поэтому наибольший общий делитель нашей сократимой дроби равен $7$ и сама дробь может быть сократима только на $7$ .

Вопрос от Ильи: Какое наибольшее число можно записать на бумаге, используя только четыре единицы?
Ответ репетитора по математике: $11^{11}$

Вопрос репетитору от Димы: Как упростить выражение $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}-\sqrt{x-4}$ ?

Как решить задачу. В иррациональных выражениях, в которых квадратный корень располагается под знаком другого квадратного корня, чаще всего необходимо выделять полный квадрат по знаком большего корня. Этим и займемся: $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}-\sqrt{x-4}=\sqrt{x-4 +2\cdot2\cdot\sqrt{x-4}+4}-\sqrt{x-4}=$ $=\sqrt{(\sqrt{x-4})^2 +2\cdot2\cdot\sqrt{x-4}+4}-\sqrt{x-4}=$ $=\sqrt{(2+\sqrt{x-4})^2}-\sqrt{x-4}=2+\sqrt{x-4}-\sqrt{x-4}=2$

Вопрос репетитору по математике: Помогите найти производные следующих функций:
$1) y=\dfrac{sin5x}{\lg4x}$ $2) y=(1-x^2) \cdot tgx$ $3) y=7+7^x+x^7+2e^x+arccosx - ctgx$

Репетитор по математике. Решения задач 1 — 3.

1) $\left(\dfrac{sin5x}{\lg4x}\right)$

2) $((1-x^2) \cdot tgx)$ $=\dfrac{-2x Sinx Cosx + 1 - x^2}{Cos^2x}=\dfrac{1-x Sin2x - x^2}{Cos^2x}$

3) $(7+7^x+x^7+2e^x+arccosx - ctgx)$ $+(arccosx)$

Вопрос от Никиты: Здравствуйте! Пожалуйста, помогите мне понять, как найти промежутки возрастания функции : $y=2|x-3|+3|x+2|-2x$ Возраст: 15 лет, 9 класс, учебник по математике: Макарычев, Миндюк, 2010 г.

Репетитор по математике о методе решения. Придется раскрыть модули. Точками $x=3$ и $x=-2$ ось ОХ разрезается на три промежутка. Рассмотрим их отдельно и заменим на каждом из них аналитическое выражение с модулями на тождественно ему равное: 1) если $x \in (-\infty;-2]$ , то $y=-2(x-3)-3(x+2)-2x=-7x$ . Это убывающая линейная функция, так как угловой коэффициент $k=-7 < 0$ . Следовательно, на рассматриваемом промежутке первоначальная функция тоже убывает.2) если $x \in [-2;3]$ , то $y=-2(x-3)+3(x+2)-2x=-x+12$ . Функция убывает по аналогичной причине.3) если $x \in [3;+\infty)$ , то $y=2(x-3)+3(x+2)-2x=3x$ . Это возрастающая линейная функция, так как угловой коэффициент $k=3 < 0$ , поэтому $[-2;3]$ — промежуток возрастания исходной функции.Объединяя два первых промежутка в один, получим, что функция убывает, если $x \in (-\infty;3]$ и возрастает, если $x \in [3;+\infty)$ . Для наглядности неплохо было бы и график построить.

Вопрос от Дмитрия: Добрый вечер, Александр Николаевич. Проконсультируйте, пожалуйста, может ли меньшее основание в равнобедренной трапеции быть равно ½ большего основания? Если можно, напишите (сформулируйте) эту теорему или свойство. Спасибо.

Указание репетитора по математике. Да, конечно, может. Если нужна общая формулировка, то я бы сказал так: верхнее основание равнобедренной трапеции есть непрерывная величина, значения которой составляют интервал (0,a), где а — длина нижнего основания. Кстати длина высоты тоже может быть какой угодно, но уже от нуля до плюс бесконечности. Эти независимые друг от друга параметры (верхнее основание, нижнее основание и высота) определяют все остальные компоненты и величины в равнобедренной трапеции (углы, диагонали, площадь, боковые стороны и др.)

Вопрос от Тани: Помогите, пожалуйста, записать уравнение касательной к функции $y=x^2+1$ в точке, в которой касательная параллельна прямой $y=2-x$ . Все бьюсь и никак не могу понять!

Ориентировка репетитора по математике.Сначала нужно найти точку касания. Для этого используем свойство параллельных прямых: если две наклонные прямые параллельны, то их угловые коэффициенты равны. Поэтому угловой коэффициент касательной равен -1. Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в точке касания, то $(x^2+1)$ . Решая это уравнение мы найдем абсциссу точки касания $x_0=-\dfrac{1}{2}$ . Для того, чтобы написать уравнение касательной в точке $x_0=-\dfrac{1}{2}$ , нужно найти значение функции в точке касания и значение производной в точке касания, то есть $f(x_0)$ и $f$ , а затем подставить их в общее уравнение касательной $y=f$ . $f$ $f(x_0)=\left( -\dfrac{1}{2}\right)^2+1=\dfrac{1}{4}+1=\dfrac{5}{4}$ Подставим найденные значения в общее уравнение касательной $y=-1\left(x+\dfrac{1}{2}\right)+\dfrac{5}{4}$ Раскрывая скобки, окончательно получим ответ: $y=-x+\dfrac{3}{4}$