Репетитор по математике он-лайн: тригонометрия

На этой странице сайта «профессиональный репетитор по математике» Вы сможете изучить решения своих задач по тригонометрии. Я постараюсь оформлять их подробно, с учетом условий самостоятельной подготовки к ЕГЭ по математике. Постепенно страницы с решениями Ваших задач будут разделены на тематические. Задать свой вопрос репетитору можно будет внутри каждой из них, а также на главной странице он-лайн помощи. Не забудьте, что вопросы рассматриваются с конкретным и точным математическим содержанием проблемы. Реально оценивайте возможности репетитора по математике. Пожалуйста, не загружайте преподавателя несколькими задачами сразу и тем более многостраничными списками, полными вариантами контрольных работ. Интересны отдельные номера в количестве не более 1-2 штук в один заказ. Я не беру никаких денег за помощь и оставляю за собой право рассматривать задачи в соответствии со своим графиком занятости.

Ваш вопрос репетитору по математике:
  • Сформулируйте ваш вопрос. Например, можно попросить подсказать способ решения школьной, конкурсной, олимпиадной или ЕГЭ задачи, узнать о существовании и применении какой-либо теоремы, свойства или формулы.
  • Загрузите файл с фотографией или сканером варианта контрольной, уравнения, неравенства, буквенного или числового выражения, с которыми возникли трудности. Я постараюсь Вам помочь. Также интересуют различные логические и занимательные задачи для школьников, которые вам где-либо встретились.

Вопрос от Динара
Здравствуйте, я не могу решить такую задачу:
доказать равенство tg55 \cdot tg65 \cdot tg75 = tg85
Репетитор по математике Александр Николаевич. Идея решения:
Заменим все тангенсы на синусы и косинусы и преобразуем отдельно числитель и знаменатель левой части по формулам для произведения тригонометрических функций: Sinx \cdot Sin y=0,5(Cos(x-y)-Cos(x+y)) и Cosx \cdot Cos y=0,5(Cos(x-y)+Cos(x+y))
Заменяя произведения Sin 55 \cdot Sin 75 и Cos 55 \cdot Cos 75 на соответствующие суммы, после сокращения на 0,5 пролучим в левой части \dfrac{ (Cos20-Cos130) \cdot Sin65}{(Cos20+Cos130) \cdot Cos65} Раскроем скобки и применим формулы для произведения разноименных функций (дважды в числителе и дважды в знаменателе) Получим \dfrac {Sin85 + 0,5 \sqrt{2} +Sin15 +Sin 65}{ Cos85 + 0,5 \sqrt{2} +Cos15 +Cos 65}
Равенство \dfrac{a+m}{b+n}=\dfrac{a}{b} возможно только тогда, когда mb=an, поэтому осталось доказать, что (0,5 \sqrt{2} +Sin15 +Sin 65) \cdot Cos85 = (0,5 \sqrt{2} - Cos15 +Cos 65) \cdot Sin 85 Для этого раскроем скобки, перенесем все слагаемые в левую часть, заменим Sin85 на Cos5 и разложим Cos85-Cos5 на множители. Остальные слагаемые сгруппируем в две суммы и каждую свернем по формулам сложения углов. Образуется разность Sin100 – Sin 20. Ее тоже разложим на множители и убедимся, что все сокращается. Может быть есть решение покороче — надо посидеть и подумать. Я стараюсь более 15 минут на номер не тратить. Времени мало.

Вопрос от Аси: помогите пожалуйста решить уравнение по тригонометрии: Sinx \cdot Sin 7x= Sin 3x \cdot Sin 5x

Репетитор по математике о решении уравнения.
Применим к левой и правой части уравнения формулу, преобразующую произведение тригонометрических функций в сумму (в нашем случае в разность): SinA \cdot Sin B = 0,5(Cos(A-B)-Cos(A+B)).
Реализум ее: проведем цепочку очевидных преобразований:

0,5(Cos(x-7x)-Cos(x+7x))=0,5(Cos(3x-5x)-Cos(3x+5x))

Cos6x-Cos8x=Cos2x-Cos8x

Уничтожим слагаемые, перенесем Cos2x в левую часть и применим формулу, раскладывающую на множители разность косинусов:CosA-CosB= -2 \cdot Sin \dfrac{A-B}{2} \cdot Sin \dfrac{A+B}{2}

Получим: -2 \cdot Sin \dfrac{6x-2x}{2} \cdot Sin \dfrac{6x+2x}{2}=0

И в итоге: Sin2x \cdot Sin4x=0.

Приравнивая каждый множитель к нулю, получим совокупность уравнений:
Система тригонометрических уравнений
Нужно решить каждое уравнение и объединить их ответы:
Решаем Sin2x=0 :
2x=\pi \cdot n \implies x=\frac{\pi n}{2}, n \in Z

Аналогично получим ответ в Sin4x=0 :
4x=\pi \cdot k \implies x=\frac{\pi k}{4}, k \in Z

Формально на этом можно остановиться, но вторая формула несет в себе числа, получающиеся по первой. Это показано на рисунке: Репетитор по математике он-лайн. Решение задачи Аси

Зеленым цветом выделены точки круга для углов x=\frac{\pi n}{2}, красным — серия углов x=\frac{\pi k}{4}. Видно, что все множество красных точек включает в себя множество зеленых, поэтому в ответ можно записать x=\frac{\pi k}{4}.

Колпаков Александр Николаевич.
Репетитор по математике Москва. Он-лайн решение задач.

Pages: 1 2

{ 0 комментариев… напишите первый комментарий }

Оставьте комментарий